人有十个手指头，所以就有了十进制，满十进一。
计算机的存储单元受限于物理设备，只能有两种状态，即传统意义上的“开”和“关”，”高“和”低“，”1“和”0“，对计算机来说，二进制是它最擅长的。早期的计算机有尝试过用十进制存储和使用数据，但和二进制相比效率非常底下，后来这种方案被时代所抛弃了。此外二进制还和布尔代数相互映衬，有着坚实的理论基础。
机器数和真值
机器数
机器数：一个数在计算机中的实际存储形式。
机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 非负数为0, 负数为1。
如果用8位去表示一个数字，则十进制的3机器数为0000 0011；-3的机器数为1000 0011
如果用16位去表示一个数字，则十进制的3机器数为0000 0000 0000 0011；-3的机器数为1000 0000 0000 0011
真值
真值：机器数实际表示的值。
机器数的第一位为符号位，1代表负，0代表0或正。
例：0000 0011的真值为3；1000 0011 的真值为-3
原码, 反码, 补码
对于同一个机器码，可以有不同的理解方式。最初机器码是原码，后来又出现了反码和补码。
原码
正数的原码是其二进制本身；负数是符号位为1，数值部分取绝对值的二进制。
如果用8位去表示一个数字，则十进制3的原码为0000 0011；-3的原码为1000 0011
表示范围为[-127,127]。其中0有两种表示形式，0000 0000 （正零），1000 0000（负零）
反码
正数的反码和原码相同；负数是符号位为1,其它各位是原码取反。
如果用8位去表示一个数字，则十进制3的反码为0000 0011；-3的原码为1000 0011，反码为1111 1100
表示范围为[-127,127]。其中0也有两种表示形式，0000 0000 （正零），1111 1111（负零）
补码
正数的补码和原码相同；负数是符号位为1，其它各位是原码取反，未位加1。
如果用8位去表示一个数字，则十进制3的反码为0000 0011；-3的原码为1000 0011，补码为1111 1101
表示范围为[-128,127]。其中0只有一种表示形式 0000 0000 ，-128为1000 0000
运算过程
早期计算机设计时需要添加加减运算，加法可以利用微小电路单元加法器轻松实现。但是减法实现起来就没有那么容易了。考虑到减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ， 所以机器可以只有加法而没有减法, 也就不需要再为减法设计多余的电路了。
对于计算十进制的表达式: 1-1=0
原码计算
$$ 1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2 $$
反码计算
$$ 1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0\\ 2 + (-1) = [0000 0010]反 + [1111 1110]反 = [1,0000,0000]反 = （循环进位） [0000,0001] = 1 $$
补码计算
$$ 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原 = 0 $$
原码计算结果为-2，与实际不符，故不能化减法为加法。
反码计算是由于-0的存在，可能需要循环进位，会让人很迷惑。
补码的出现解决了-0的问题，同时又能够多表示一个数-128。现代计算机一般使用原码。
同余
“模”的概念
想象日常使用的钟表，它可以显示0～12点的时间，假设现在是2点钟，请用手动拨动时针的方式将时间减4小时，你会怎么做？
有两种方式：
- 逆时针将时针拨4小时
- 顺时针将时针拨8（12-4）小时
拨动12-4也可以得到2，这里就涉及了同模的概念。
取模公式
$$ x\;\%\;y=x \; mod \; y =x-y\lfloor x/y \rfloor\quad for\; y\neq 0 $$
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数（与m同号）相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)，读作 a 与 b 关于模 m 同余。
例如4 mod 12 = 16 mod 12 = -8 mod 12 = 4
所以4，16，-8关于模12同余。
在模的范围内做减法，可以将“X－Y”的减法变更为“X＋Y的补数“的加法
8位二进制数一共可以表示2的8次方，256个数，即0～255，他们的极限就是256，即256是8位二进制数的模。
假设有一个256刻度的时钟，当前时钟处于20，现在需要减去100，结果应该为-80。
用时钟方法，减去100就等价于加上156（256-100），结果为176，刚好与-80关于256同余。
为此可以得出正确的求补码方法：正数的补码为其本身，负数的补码为256-负数的绝对值。
取反加一
记得不太清楚了，好像是有这个公式。具体怎么解释这个公式，等想起来了再修改吧。
$$ （[原码]+[补码]）\% 256 =1 $$
补码和原码的相互转化均为”取反加一“
”取反加一”和同模比起来更加好记，但是要记住补码的本质是什么。
参考
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最后编辑时间为: Aug 3, 2019 at 10:28 pm
